Algebra de Boole

 

Algebra de Boole

se utiliza en dos casos concretos:

n Compuertas lógicas.

n Circuitos de interruptores.

El Álgebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 ´o 1. Y las operaciones básicas son OR (+) y AND (·).

Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR).

En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el álgebra normal.

 

En el Álgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:

1)      Conmutatividad:

X + Y = Y + X

X · Y = Y · X

 

2)      Asociatividad:

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

X · (Y · Z) = (X · Y) · Z

 

3)      Distributiva:

X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)

 X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z)

 

4)      Elementos Neutros (Identidad):

X + 0 = X

X · 1 = X

 

5)      Complemento:

X + X = 1

X · X = 0

 

6)      Dominación:

X + 1 = 1 X · 0 = 0

Demostración:

X + 1 = (X + 1) · 1 = (X + 1) · (X + X)

(X + 1) · (X + X) = X + (1 · X) = 1

 

7)      Impotencia:

X + X = X

X · X = X

 

 

8)   Doble complemento:

 X = X.

 

9)   Absorción:

X + X · Y = X

X · (Y + X) = X

Demostración:

X + X · Y = (X · 1) + (X · Y) = X · (1 + Y) = X

 

10) DeMorgan:

A · B = A + B

A + B = A · B

 

 Luego se establecen los siguientes Teoremas:

Teorema de la Simplificación

 A + A · B = A + B

A · (A + B) = A · B

Demostración:

A · A = 0

A · A + B = B

(A + B) · (A + B) = B

A · (A + B) · (A + B) = A · B

A · (A + B) = A · B

 

Teorema del complemento único

Suponemos 2 complementos para A (A1 y A2)

A + A1 = 1 A + A2 = 1

A · A1 = 0 A · A2 = 0

Luego,

A1 = A1 · 1 = A1 · (A + A2) = A1 · A + A1 · A2

A1 = 0 + A2 · A1

A1 = A · A2 + A1 · A2 = (A + A1) · A2

A1 = 1 · A2 = A2

 

Expresiones de Conmutación

Literal:

Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin complementar, en una expresión de conmutación. Por ejemplo, en la expresión de conmutación:

A · B + C · A + D + B · 1

A, B, C y D son Variables.

A, B, C, A, D y B son Literales.

1 es una Constante.

 

Expresión Dual:

Esta expresión se obtiene, intercambiando las operaciones AND por OR (y viceversa), e intercambiando las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en la expresión de conmutación. Por ejemplo, para la expresión de conmutación:

(A · B) + (C · D) + 0

La Expresión Dual es:

(A + B) · (C + D) · 1

 

Las funciones de conmutación se pueden expresar: de Forma Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma Canónica.

La manera más didáctica de representar una función de conmutación es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella se muestran los valores de salida para cada combinación de valor de entrada.

Las Tablas de Verdad permiten modelar los Sistemas Combinacionales.

Créditos:

• Benavides, K. D. R. Álgebra Booleana y Circuitos Lógicos.
• Gómez, C. B. Álgebra Booleana. Aplicaciones tecnológicas. Universidad de Caldas.